Simetrías prohibidas y la belleza perfecta

Despertamos allí donde los cambios nada valían, en apariencia. Después, cruzamos las fronteras del ordenamiento periódico, tan previsible, atravesando territorios plagados de simetrías prohibidas, hasta alcanzar los confines de la armonía, donde la parte y el todo se hermanan en la proporción divina. Y dimos aún un paso más. Un salto atrevido hacia la danza fascinante del cristal aperiódico de la vida, donde un orden inscrito en el seno de la materia orgánica se desvela en el código que define a la más universal de todas las lenguas…

El concepto de simetría

Mas empecemos abriendo los ojos a nuestra luz primera: la noción de simetría. Para la ciencia moderna todo objeto, tanto material (un mineral, por ejemplo) como inmaterial (una figura geométrica), puede poseer un conjunto de elementos de simetría. Dichos elementos se ponen de manifiesto al someter al mencionado objeto a cierta transformación y constatar (con asombro) que nada cambia en él. Se trata por tanto de una acción sin efecto aparente. De una causa anónima. Es por ello que toda simetría produce un efecto notable y sorprendente y hermoso. Tomemos una pequeña lámina cuadrada, recortada de una cartulina, por ejemplo, y fijemos su orientación con respecto a los bordes de la mesa. Giremos dicha lámina un ángulo de 90 grados con respecto a un eje perpendicular a la misma y que pase por su centro. ¿Cómo cambia su orientación al compararla con su configuración inicial? En nada, es exactamente la misma. Entonces, ¿acaso no hemos actuado sobre la cartulina, moviéndola con nuestros propios dedos? Sí, lo hemos hecho. Una acción se ha producido. Pero de la misma no resulta ¡ningún cambio apreciable! En esto consiste la esencia de la simetría.

Si en lugar de tomar una lámina cuadrada utilizamos un cubo vemos que el número de operaciones de simetría aumenta: podemos girarlo respecto a ejes que pasen por el centro de sus caras (giros de 90º), o por el punto medio de aristas opuestas (giros de 180º), o atravesando vértices opuestos (giros de 120º). En todos estos casos, al completar la operación constatamos que el cubo nos sigue mostrando, con pícara sonrisa, su rostro inicial. También podemos dividir el cubo en nuestra mente mediante planos que pasen por su centro de modo que las partes resultantes sean imágenes especulares la una de la otra. Así se definen los planos de simetría. Y finalmente anotamos todos los elementos de simetría observados y hacemos un recuento. De este modo la simetría deja de ser un concepto subjetivo y pasa a formar parte de la matemática: cuanto mayor sea el número de elementos de simetría de un objeto más simétrico es. Así, los sólidos platónicos se ordenan según una jerarquía ascendente según su grado de simetría: tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro. Este último, con 120 elementos en su lista, parece ostentar un alto rango. Sin embargo, la esfera lo eclipsa con sus infinitos ejes de rotación apuntando hacia todas las direcciones posibles del espacio…

Interrelación entre la estructura de la materia a escala atómica y sus propiedades a escala macroscópica

A los niños pequeños les gusta jugar apilando cubos de cartón, madera o plástico, los unos sobre los otros. Los matemáticos disfrutan planteando cuestiones sobre esos juegos de niños atendiendo a las simetrías de sus bloques de construcción. ¿Pueden apilarse tetraedros (en lugar de cubos) de modo que no quede resquicio alguno entre ellos? Y ¿qué pasaría con un rompecabezas formado por icosaedros? También los físicos y los químicos se interesan por estos juegos ya que los bloques constitutivos de la materia gustan de agruparse según principios geométricos sencillos basados en los sólidos platónicos. La razón última de esta geometría de la naturaleza se encuentra a diez millonésimas de metro de distancia, en la escala de los átomos que interactúan entre sí con marcadas preferencias direccionales. Así, el átomo de carbono se rodea de cuatro vecinos dispuestos en los vértices de un tetraedro cuando crece formando la estructura del diamante traslúcido y brillante. Pero en otras ocasiones puede formar anillos hexagonales que se engarzan entre sí formando planos que, a su vez, se apilan ordenadamente formando un patrón semejante al de las celdas de un panal de abejas: se trata del oscuro grafito que podemos encontrar en la mina de un lápiz. Las láminas de motivos hexagonales sin apilar constituyen un material llamado grafeno, que muestra propiedades singulares de gran interés tecnológico, por lo que sus descubridores han sido galardonados con el premio Nobel de Física del año 2010.

Resulta sorprendente observar que dos materiales basados en el mismo tipo de átomo constituyente manifiestan propiedades físicas tan distintas: el diamante es duro, conduce muy bien el calor pero muy mal la electricidad, es transparente y valioso. Por el contrario, el grafito es blando, conduce bien la electricidad, es opaco, oscuro y barato. ¿Cómo es posible que partiendo de un mismo elemento (el carbono) los duendecillos químicos que apilan sus ladrillos atómicos puedan construir materiales tan dispares? La causa no es otra que la marcada diferencia en el orden geométrico en que se disponen los átomos en el espacio. He aquí ilustrada la profunda importancia del orden establecido en la estructura de la materia, que nos muestra con toda elocuencia que el papel desempeñado por las simetrías a escala microscópica no es precisamente ¡un juego de niños!

El teorema de restricción cristalográfica

La exploración de la interrelación entre simetría estructural y propiedades físico-químicas de los materiales llevó a los cristalógrafos a interesarse por una clasificación sistemática de las distintas formas posibles de materia atendiendo a la distribución de sus átomos en el espacio. Iniciado a mediados del siglo XIX, tal empeño fue coronado a principios del siglo XX mediante el enunciado del teorema de restricción cristalográfica. Dicho teorema se basa en una rama moderna de las matemáticas conocida como teoría de grupos y en esencia se expresa en una prohibición: a fin de que el edificio de bloques de construcción con los que se generan los sólidos no se derrumbe sus sillares deben poseer tan sólo un reducido número de elementos de simetría. En particular, los únicos ejes de rotación admitidos para ellos son los binarios (180º), ternarios (120º), cuaternarios (90º) y senarios (60º). Cualquier otro eje de simetría rotacional queda proscrito. En efecto, vemos que tanto la estructura del diamante como la del grafito satisfacen esta condición. Y a lo largo de los años el número de minerales y compuestos analizados no hizo más que confirmar un hecho ciertamente sorprendente: de todas las simetrías imaginables la naturaleza parecía restringirse al uso de un número limitado (230) de prototipos, convenientemente recogidos a su vez en 7 sistemas cristalográficos: cúbico, hexagonal, tetragonal, trigonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico.

En efecto, la concepción de la materia en estado sólido se ha basado tradicionalmente en la noción de una distribución periódica de átomos en el espacio, que permite una descripción matemática relativamente sencilla de las partículas constituyentes del sólido y sus interacciones, y facilita, a su vez, la comprensión de la relación que existe entre la estructura de la materia a escala atómica y sus propiedades a escala macroscópica. Por otra parte, la noción de un ordenamiento periódico de átomos en el espacio ofrece un esquema de clasificación de la materia en dos grandes categorías: por un lado, la materia cristalina y, por otro, la materia amorfa, carente de un orden de traslación de largo alcance. Tal esquema estaba avalado, desde un punto de vista experimental, por la notable concordancia entre los modelos cristalográficos propuestos y los patrones de difracción obtenidos para los distintos materiales estudiados.

Un ejemplo de tal patrón se muestra en el recuadro superior de la Figura 1, en el que puede apreciarse una disposición regular de puntos brillantes (picos de Bragg) sobre un fondo oscuro. El orden en que dichos picos aparecen refleja la simetría que subyace en la distribución de los átomos que componen el material analizado, y se produce al iluminarlo con una radiación adecuada (electrones acelerados o rayos X). Ahora bien, si prestamos atención a la organización de los puntos en el patrón podemos observar claramente la presencia de figuras pentagonales. Es más, si trazamos sendas líneas uniendo los distintos vértices de un pentágono formado por los picos más intensos (tal como se muestra en el recuadro superior), vemos que los puntos de intersección definen un nuevo pentágono cuyo tamaño guarda una relación de semejanza, determinada por la proporción τ2, con respecto al tamaño del pentágono original, siendo τ la razón entre la diagonal y el lado de dicho pentágono. Esta razón, que corresponde al número irracional (1+√5)/2, es conocida desde la antigüedad clásica con el nombre de razón áurea y ha sido considerada, desde entonces, como canon de proporción y armonía en la pintura, la escultura o la arquitectura. Resulta, sin duda, notable que esta construcción geométrica, también denominada pentagrama pitagórico, sea expresada de forma natural por la disposición espacial de los átomos en un fragmento de materia. Pero es aun más sorprendente constatar que dicha disposición corresponde ¡a un ordenamiento prohibido! En efecto, según el teorema de restricción cristalográfica la profusión de motivos pentagonales mostrados en el patrón de difracción es una auténtica aberración, una pesadilla cristalográfica que para mayor consternación se extiende desde el reducido ámbito del dominio atómico hasta nuestra escala macroscópica, tal como ilustra el cristal dodecaédrico, de cinceladas aristas y lustrosas caras pentagonales, mostrado a la derecha de la Figura 1.

La paradoja se desvela al considerar que los legisladores teóricos se dejaron seducir por un supuesto tácito: el único modo de rellenar el espacio con átomos de forma ordenada y sistemática - pensaron - debe basarse en el recurso de patrones periódicos. Y es que el hechizo de la periodicidad es poderoso. La disposición regular y periódica de elementos en el espacio en forma de mosaico tridimensional permite garantizar que lo que vemos en nuestro entorno reducido se repite exactamente a extraordinarias distancias con la misma precisión y rigor. De este modo, un cristal que crece por yuxtaposición de celdillas elementales de dimensiones atómicas puede preservar incólume su orden estructural hasta alcanzar nuestra escala humana, deslumbrándonos con las facetas cinceladas y el destello mágico propio del reino mineral.

Un nuevo ordenamiento de la materia: la aperiodicidad

Sin embargo, el apilamiento periódico no es el único posible a tal efecto. También se pueden ordenar los átomos en un material siguiendo un proceso análogo al del conocido juego de muñecas rusas (¿otro juego de niños?), de modo que pequeños agregados de átomos con simetría icosaédrica se anidan en el interior de otros agregados mayores con su misma forma, los cuales, a su vez, se incluyen dentro de nuevos agregados similares de mayor tamaño, y así sucesivamente hasta alcanzar la escala de los minerales ordinarios. Se trata, por tanto, de un nuevo ordenamiento de la materia, descubierto inesperadamente en 1982, durante un estudio rutinario de aleaciones ligeras para aplicaciones aeronáuticas. En dicho ordenamiento los átomos se disponen en el espacio según una distribución perfectamente regular, aunque no sea periódica. El término cuasicristal (contracción de los términos ingleses quasiperiodic crystal) se impuso rápidamente para designar a este nuevo tipo de materiales. A lo largo del cuarto de siglo transcurrido desde su descubrimiento se han observado fases cuasicristalinas en un gran número de aleaciones metálicas, tanto binarias como ternarias y cuaternarias basadas en el aluminio y el titanio, principalmente. Asimismo, atendiendo a sus elementos de simetría, además de los ejes de simetría pentagonal característicos del grupo icosaédrico, se han observado también ejes octogonales, decagonales y dodecagonales, todos ellos incompatibles con la simetría periódica de traslación. Debido al creciente número y a la gran variedad de cuasicristales observados, la Unión Cristalográfica Internacional ha redefinido el término de cristal, ampliándolo para dar cabida a este nuevo tipo de ordenamiento. Así, dentro de la familia de los cristales se puede distinguir ahora entre cristales periódicos y cristales aperiódicos.

En este sentido resulta interesante saber que la noción de sólido aperiódico fue introducida por uno de los fundadores de la mecánica cuántica, Erwin Schrödinger, al reflexionar sobre la posible naturaleza del material genético en un opúsculo titulado “¿Qué es la vida?”, escrito en 1944, una década antes de que se tuviera evidencia alguna sobre la estructura real del material cromosómico. En efecto, tan sólo a partir de las medidas de difracción de rayos X llevadas a cabo por R. Franklin se constató que el material genético tenía una estructura ordenada capaz de difractar (recuadro inferior en la Fig.1), pudiéndose obtener información precisa sobre su estructura. Así, la serie de picos en forma de aspa que ocupan la porción central de la imagen son una seña característica de la estructura helicoidal asociada a los grupos azúcar-fosfato situados en la parte exterior de la estructura. Las dos zonas difusas, situadas en la parte superior e inferior de la imagen, corresponden a los nucleótidos, apilados siguiendo una secuencia aperiódica en torno al eje central de la doble hélice. Esta imagen muestra, por un lado, la presencia de un orden periódico en la cadena de azúcar-fosfato, que se repite cada 34 Å a lo largo del eje de simetría helicoidal de la cadena y, por otro lado, la ausencia del mismo en la distribución de los pares de bases complementarias. Desde un punto de vista biológico dicha ausencia de orden periódico resulta muy conveniente para dotar al ADN de su capacidad de almacenar información genética, que viene codificada por la secuencia particular de bases a lo largo de la estructura. De este modo, la molécula de ADN podría considerarse como un sistema en el que coexisten dos tipos de ordenamiento en la misma estructura y a la misma escala. Una estructura robusta y a la vez frágil, en la que dos cadenas de azúcar-fosfato se abrazan en una hélice periódica envolviendo a los pares de bases complementarios, que aferrados mediante puentes de hidrógeno, se apilan uno tras otro siguiendo el preciso y precioso orden aperiódico con el que las leyes de la vida se inscriben en el seno íntimo de la materia.

Contemplamos ahora, aún lejano, el rostro inmaterial de la belleza perfecta. Escondido en el pausado latir de las estrellas que gestaron en sus entrañas los átomos que componen las moléculas de la vida, reliquias de un pasado que anhela hacerse eterno en el embrión que despliega presuroso sus patrones vitales en precisa sincronía. Latente en la semilla silente que crecerá enhebrando sus células diminutas en el tejido del espacio y el tiempo, trocándose en árbol milenario mientras sus raíces se aferran a un planeta azul que danza en torno a una estrella amarilla arremolinada en una espiral de luceros errantes…

Mas tal belleza no puede ser contemplada con los ojos, que apenas entrevén lo invisible, sino mediante el auxilio de la medida y el número, de la proporción y el cálculo. A través del conjuro de la fórmula matemática: tan temida y tan amada. Tan incomprendida. Pues a través de la gramática del guarismo, no sólo vemos. También oímos la melodía del tiempo que fluye. Y si sabemos escuchar con atención podremos percibir la síncopa que estremece a esas hebras que conforman el tapiz de vida, empapadas de energía, suscitando ondas viajeras que se acercan, y se mecen, y se alejan, sujetas a ritmo y compás. Vaivén de oscilaciones que ora se abrazan creciendo, ora se abrazan menguando. Múltiples interferencias de luces invisibles y sonidos inefables. Hermosa Naturaleza que se nos muestra siempre velada en nuestra esmerada búsqueda de la norma y la ley que gobierna a todas las cosas por medio de todas ellas.

“Una sola cosa es lo sabio: conocer la Inteligencia que guía todas las cosas a través de todas”, [Heráclito 750 (22 B 41) D. L. IX 1 Los Filósofos Presocráticos Vol. 1, C. E. Lan y V. E. Juliá, Ed. Gredos 1978, p. 385].

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Más información

Este documento ha participado en la modalidad de monográfico científico del III Concurso de Divulgación Científica de la Universidad Complutense de Madrid (2010).