El ritmo musical y el algoritmo de Euclides están emparejados

En muchas tradiciones musicales se observa una preferencia particular por los ritmos cuyas notas están distribuidas lo más uniformemente posible en el tiempo. Y esta característica presenta una inesperada conexión con el cálculo del máximo común divisor por el método de Euclides, que ha sido estudiada por Francisco Gómez, investigador de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM) que ha publicado un trabajo(1) sobre dicha conexión.

Muchos ritmos tienen la propiedad de que las notas están distribuidas lo más uniformemente posible dentro de la duración del ritmo. Si designamos por 0 un silencio y por 1 una nota (el ataque), ambos con la misma duración, entonces [1 0 1 1 0 0 1 1] es un ritmo de un ritmo de 5 notas y 3 silencios.

Resulta claro que las notas del ritmo R=[1 0 0 1 0 0 1 0] están distribuidas más uniformemente que, por ejemplo, en el ritmo S=[1 1 1 0 0 0 0 0]. Esta propiedad es muy común en ritmos y escalas de la música de muchas tradiciones en el mundo, tal como la música afro-americana, la música de los pigmeos, la música folklórica griega, la música árabe, la música búlgara (los ritmos aksak), la música rumana, etc. Los ritmos que presentan esta propiedad se llaman ritmos euclídeos. Por ejemplo, dados en notación binaria, tenemos:

Clave son (de Cuba) [10010010]

Ritmo árabe [10110110]

Ritmo de los pigmeos aka [100101001010]

Ritmo de Macedonia [1001010010100]

Calve Bossa-nova (Brasil) [1001001000100100]

Curiosamente estos ritmos pueden generarse con el viejo método para calcular el máximo común divisor que dio Euclides (importante matemático griego, que vivió alrededor del 300 a.C. y autor de “Los elementos”).

Ese método, que muchos hemos estudiado en primaria, consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a es mayor que b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. En efecto, cuando dividimos a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que a = c×b + r.

Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo de r, y en particular, del m.c.d. Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 × 2 + 3, entonces m.c.d.(17, 7) es igual al m.c.d.(7, 3). De nuevo, como 7 = 3 × 2 + 1, entonces m.c.d.(7, 3) es igual a m.c.d.(3, 1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, m.c.d entre 17 y 7 es 1 también.

¿Cómo se transformaría el cálculo anterior en un ritmo euclídeo? Sigamos los pasos dados en la figura 1. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros), paso (1). Formamos grupos de 7, los cual corresponde a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos 7 grupos de formados por [1 0], paso (2).

Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3 hasta que queden uno o cero grupos. De nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado, paso (3). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida, paso (4).

El problema de distribuir objetos lo más uniformemente posible dentro de un cierto espacio o tiempo aparece en muchísimos campos. Ese problema surge en los sistemas de sincronización de aceleradores de partículas (el algoritmo de Bjorklund), en la teoría de escalas diatónicas en música (el algoritmo de Clough y Douthett), en gráficos por ordenador (el algoritmo de Bresenham), en el diseño de calendarios, en la teoría de cadenas en informática (las cadenas euclídeas) o en matemáticas (las sucesiones de Beatty y las fracciones continuas).

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Referencia bibliográfica:

(1) Computacional Geometry: Theory and Applications, vol. 42, (2009), pág. 429-454), The Distance Geometry of Music. Demaine, Erik D.; Gomez-Martin, Francisco; Meijer, Henk; Rappaport, David; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T.; Winograd, Terry; Wood, David R.