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Matemáticas para prever impactos de asteroides contra la Tierra

Investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas y la Universidad de Pisa han confirmado que algunos de los modelos matemáticos que se emplean para seguir a los asteroides ofrecen buenas aproximaciones estadísticas. Las matemáticas son especialmente importantes para seleccionar aquellos que tienen mayor probabilidad de colisionar contra nuestro planeta y poder analizar sus trayectorias.

Más de 700 asteroides conocidos podrían chocar contra nuestro planeta. / Pixabay

Cada año, la Tierra se ve golpeada por toneladas de material proveniente del espacio. La mayoría de estos objetos son de pequeña dimensión y se destruyen al entrar en contacto con la atmósfera. Los que logran traspasarla no son muy grandes y suelen caer al océano, que cubre el 70% de la superficie terrestre. Sin embargo, en el pasado, grandes asteroides impactaron con nuestro planeta, provocando catástrofes globales. Hoy en día, las agencias espaciales, como la estadounidense (NASA) y la europea (ESA), dedican programas a la búsqueda de asteroides peligrosos con el principal objetivo de descubrir con suficiente antelación cuándo y dónde podrían impactar, para así poder tomar las medidas adecuadas.

Se prueba que algunos modelos matemáticos ofrecen una buena aproximación a la evolución que tendría el asteroide

Se conocen aproximadamente unos 2.000 asteroides potencialmente peligrosos de los cuales 750 tiene una probabilidad no despreciable (aunque muy baja) de impactar. Para prever su evolución se emplean intrincados modelos matemáticos y estimaciones.

Ahora, Stefano Marò, investigador postdoctoral del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), y Giovanni Federico Gronchi (Universidad de Pisa, Italia) han probado que algunas de las técnicas más empleadas son, efectivamente, una buena aproximación estadística a la evolución que podría describir el asteroide. Sus resultados se publicaron el pasado 19 de junio en la revista SIAM Journal on Applied Dynamical Systems.

“El movimiento de los asteroides viene descrito por complicadas ecuaciones diferenciales, que se resuelven mediante estimaciones numéricas. Los métodos empleados son muy precisos pero, a la vez, requieren mucho tiempo de cálculo en sofisticados ordenadores”, señala Marò. Efectuar un estudio numérico para cada uno de los asteroides peligrosos requeriría demasiado tiempo, por lo que solo se seleccionan los que merecen una atención particular, ya que tienen una probabilidad real de colisionar con la Tierra. Para ello, las matemáticas juegan un papel fundamental. “Por un lado, ofrecen modelos simplificados que aproxima bien la evolución real y cuya solución se puede calcular en un tiempo menor que en el caso general; por otro, tratan de encontrar condiciones bajo las cuales el asteroide no puede impactar contra la Tierra, y poder, así, ser descartado”, explica el investigador.

Una elipse que se deforma lentamente

El transcurso de un asteroide está determinado por el llamado problema de los N cuerpos, en el que se intenta predecir el movimiento de un conjunto de objetos astronómicos que interactúan mutuamente según las leyes de la gravitación universal de Newton. El problema es que no hay solución a esta cuestión de forma general. Sin embargo, existen aproximaciones lo suficientemente buenas, simplemente considerando la dinámica dada por la influencia gravitatoria del Sol y teniendo en cuenta que la influencia de los planetas supone una pequeña perturbación.

Con el llamado problema de los N cuerpos se intenta predecir el movimiento de objetos que interactúan mutuamente según las leyes de Newton

En cada instante la posición del asteroide viene descrita por seis coordenadas, que se dividen en dos grupos: cinco que describen las trayectorias (elípticas, considerando solo el sistema asteroide - Sol), y una sexta que determina la posición a lo largo de la misma. En el problema de Kepler, las cinco primeras variables quedan constantes, pero si se considera también la influencia de los planetas, dejan de serlo, aunque evolucionan muy despacio.

“Esta descripción en coordenadas muestra que el asteroide se mueve a lo largo de una elipse, que se deforma muy lentamente”, explica Marò. Para determinar la evolución del movimiento de los objetos y su acercamiento a la Tierra, lo importante es estudiar la modificación de la elipse, olvidando la posición a lo largo de la misma. Las ecuaciones que describen las coordenadas lentas se deducen mediante la denominada teoría de perturbaciones hamiltonianas, un campo que une análisis y física matemática.

Se sabe que la evolución según la forma normal, que representa las ecuaciones de sistemas parecidos al estudiado pero más simples, es una buena aproximación de la evolución real del asteroide. Pero estas soluciones solo son válidas mientras que no haya singularidades en los sistemas de ecuaciones, es decir, intersecciones entre la trayectoria del asteroide y la de algún planeta. En los últimos años, se ha mostrado que es posible definir una solución generalizada que ‘pase a través’ de las singularidades. No son tan regulares como en el caso anterior, pero varios experimentos numéricos sugieren que pueden ser una buena aproximación a nivel estadístico de la evolución real.

Hasta hace poco solo se había probado para algunos casos. Ahora, Marò y Gronchi han extendido esta teoría a otros casos relevantes, teniendo en cuenta las diferencias substanciales que presentan. En su artículo, los investigadores han probado que la solución aproximada está bien definida, existe y es única. Además, los experimentos numéricos sugieren que la solución generalizada es una buena aproximación, también en esta situación. Ahora el reto es demostrar formalmente que así es para, de esta manera, poder confiar plenamente en los modelos y en las predicciones que ofrecen.

Referencia bibliográfica:

Stefano Marò (ICMAT) y Giovanni Federico Gronchi (Università di Pisa), “Long term dynamics for the restricted N -body problem with mean motion resonances and crossing singularities”. SIAM Journal on applied dynamical systems 17(2), 1786–1815. 19 de junio de 2018. https://epubs.siam.org/doi/10.1137/17M1155703

Fuente: ICMAT
Derechos: Creative Commons
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